旋转矩阵

旋转矩阵

点，向量，坐标系

$\mathbb{R}^3$

$\mathbb{R}^3$描述三维空间中的某个坐标点，$(e_1, e_2, e_3)$：为空间中的一组基

$$\begin{align} 向量&\textbf{a}在基(e_1,e_2,e_3)下的坐标：\\ & \textbf{a} = [e_1,e_2,e_3]\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}=a_1e_1+a_2e_2+a_3e_3.\\ &(a_1,a_2,a_3)^T为\textbf{a}在基下的坐标 \end{align}$$

外积

将叉乘转化为矩阵和向量相乘的线性运算

$$\begin{align} a\times b& = \begin{Vmatrix} e_1 & e_2 & e_3\\ a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{Vmatrix}=(a_2b_3-a_3b_2)e_1+(a_3b_1-a_1b_3)e_2+(a_1b_2-b_2a_1)e_3\\ &=e\begin{bmatrix} a_2b_3-a_3b_2\\ a_3b_1-a_1b_3\\ a_1b_2-b_2a_1 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2\\ a_3 & 0 & -a_1\\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3 \end{bmatrix} \overset{\text{def}}{=}\textbf{a^b} \end{align}$$

符号 ^ ：反对称符号 $\Rightarrow$ a^ ：是反对称矩阵，将一个向量变成矩阵形式

a = $\begin{bmatrix}
0 & -a_3 & a_2\
a_3 & 0 & -a_1\
-a_2 & a_1 & 0
\end{bmatrix}$ ，任意向量对应唯一一个反对称矩阵.

欧式变换

刚体运动：一个旋转+一个平移（坐标系变换

旋转

向量本身不变但是坐标系变动，向量a在由基e转变为基e’后，再基e’中表示为a’

$$\begin{align} &[e_1,e_2,e_3]\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}=[{e}'_1,{e}'_2,{e}'_3]\begin{bmatrix} {a}'_1\\ {a}'_2\\ {a}'_3 \end{bmatrix}\\ &等式两边同时左乘[e_1^T,e_2^T,e_3^T]^T，设\:R\:为旋转矩阵：\\ &\begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ a_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^T_1{e}'_1 & e^T_1{e}'_2 & e^T_1{e}'_3\\ e^T_2{e}'_1 & e^T_2{e}'_2 & e^T_2{e}'_3\\ e^T_3{e}'_1 & e^T_3{e}'_2 & e^T_3{e}'_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a}'_1\\ {a}'_2\\ {a}'_3 \end{bmatrix}\overset{\text{def}}{=}R{a}' \end{align}$$

旋转矩阵 R（方向余弦矩阵）行列式为1，行列式为1的正交矩阵也是一个旋转矩阵。因为行列式为1的正交矩阵的几何意义为旋转但不改变向量长度。

由此，定义n维旋转矩阵：

$$\begin{align}\textbf{特殊正交群}:\\ &SO(n)=\{R\in\mathbb{R}^{n\times n}|RR^T=I,det(R)=1\}. \end{align}$$

其中，I为单位矩阵

关于${a}’=R^{-1}a=R^Ta$ ，同样地，正交矩阵R的逆矩阵在几何上表示一个相反的旋转，因此R的转置刻画了一个相反的旋转。

旋转 + 平移

刚体运动（由向量a变换到向量a’），旋转Ra和平移向量t

$$\textbf{a'=Ra+t}$$

变换矩阵

1）前置问题：

假设进行多次欧式变换，表达式之间的关系并非是线性关系（带有多项式项），所以为方便描述，设置变换矩阵（T矩阵）

2）定义形式

将三维坐标写成齐次坐标：

$$\begin{align}&\begin{bmatrix} {a}'\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} R & t\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}\overset{\text{def}}{=}T\begin{bmatrix} a\\ 1 \end{bmatrix}\\&\\&矩阵\:T\:为变换矩阵 \end{align}$$

由此，多次变换可以写为如下形式：

$$c=T_1T_2a$$

3）特殊欧式群

$$SE(3)=\begin{Bmatrix} T=\begin{bmatrix} R & t\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{4\times4}|R \in SO(3),t\in\mathbb{R}^{3} \end{Bmatrix}$$

反向变换：

$$T^{-1}=\begin{bmatrix} R^T & -R^Tt\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}$$

（可由$A^*=A|A|$求得）

[ 注 ]

1）SO(3) 的旋转矩阵有9个量，但一次旋转只有3个自由度：

​ 矩阵由九个元素，却只表示了 x，y，z 三个坐标的位置变化（只有三个自由度）

2）变换矩阵T用16个量（4阶T矩阵16个元素）表达了6自由度的变换，分别是三个坐标轴以及每个坐标轴的旋转变量（3个）

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参考资料：

• 视觉SLAM十四讲：从理论到实践（第2版）. 高翔.