李群李代数及其转换的映射

李群与李代数

（1）群

代数结构：一种集合+集合上的一种运算

满足性质：封闭性、结合率、幺元、逆

李群：具有连续（光滑）性质的群

（2）李代数

与李群对应的一种数据结构

引出李代数

旋转矩阵$R$是某个相机的旋转，并随时间连续地变化

$$\begin{align} & R(t)R(t)^T=I\tag{两边对t求导} \\ \Rightarrow\;& \dot{R}(t)R(t)^T+R(t)\dot{R}(t)^T=0\\ \Rightarrow\;& \dot{R}(t)R(t)^T = -(\dot{R}(t)R(t)^T)^T\\&\\ \rightarrow\;&\dot{R}(t)R(t)^T是一个反对称矩阵 \end{align}$$

所以，找到一个三维向量$\phi(t)\in\mathbb{R^3}$记：

$$\begin{align} & \phi(t)\text{^}=\dot{R}(t)R(t)^T \tag{1}\\&\\ \Rightarrow\;&\dot{R}(t)=\phi(t)\text{^}R(t)\tag{2} \end{align}$$

考虑：$t_0=0时，R(0)=I$，在0处泰勒展开：

$$R(t)\approx R(t_0)+\dot{R}(t_0)(t-t_0)=I+\phi(t_0)\text{^}t$$

在$t_0$附近，$\phi(t_0)=\phi_0$为常数，所以得到关于R的微分方程，得：

$$R(t)=e^{\phi\text{^}t} \tag{3}$$

李代数的定义

每个李群对应一个李代数。李代数描述了李群的局部性质，是单位元附近的正切空间（tangent Space切线空间，是一种三维空间）

集合$\mathbb{V}$ + 数域$\mathbb{F}$ + 二元运算（李括号）[ , ] = 李代数

$$\mathfrak{g}=(\mathbb{V},\mathbb{F},[,])$$

性质：封闭性、双线性、自反性（与自身运算结果为零）、雅可比等价

李代数$\mathfrak{so}(3)$

定义$\Phi=\phi^\wedge$，得 李括号为：

$$[\phi_1,\phi_2]=(\Phi_1\Phi_2-\Phi_2\Phi_1)^\vee$$ $$\mathfrak{so}(3)=\begin{Bmatrix} \phi=\mathbb{R^3},\Phi=\phi^\wedge\in\mathbb{R^{3\times3} } \end{Bmatrix}\tag{*}$$

所以，so(3)是一个由三维向量组成的集合，每个向量对应一个反对称矩阵，表达旋转矩阵的导数

对应SO(3)，$ R(t)=e^{\phi\text{^}t} $

$$SO(3)=\{R\in\mathbb{R}^{3\times 3}|RR^T=I,det(R)=1\}\tag{*}$$

李代数$\mathfrak{se}(3)$

$$\mathfrak{se}(3)=\begin{Bmatrix} \xi =\begin{bmatrix} \rho \\ \phi \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^6,\rho\in\mathbb{R}^3,\phi\in\mathfrak{so}(3),\xi^\wedge =\begin{bmatrix} \phi^\wedge & \rho\\ 0^T & 0 \end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{4\times4} \end{Bmatrix}$$

$\mathfrak{se}(3) $：由一个平移+一个$\mathfrak{so}(3)$构成的向量

$\mathfrak{se}(3)$对应的李括号：

$$[\xi_1,\xi_2]=(\xi_1^\wedge\xi_2^\wedge-\xi_2^\wedge\xi_1^\wedge)^\vee$$

指数与对数映射

（1）SO(3)上的指数映射

1 指数映射：在李群李代数中，一个矩阵的指数

2 通过泰勒展开，得$\mathfrak{so}(3)中的任意元素\phi的指数映射$：

$$\text{exp}(\phi^\wedge)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\phi^\wedge)^n$$

3 关于上述定义的计算：

定义$\phi$的 模长$\theta$，方向$\alpha$，$\phi=\theta\alpha$，其中$||a||=1$

关于$\alpha$的性质：$\alpha^\wedge\alpha^\wedge=\alpha\alpha^T-I$，$\alpha^\wedge\alpha^\wedge\alpha^\wedge=-\alpha^\wedge$，将$\theta\alpha$代入指数映射：

$$\begin{align} \text{exp}(\phi^\wedge)&=\text{exp}(\theta^\wedge\alpha)\\ &=\cos{\theta I}+(1-\cos\theta)\alpha\alpha^T+\sin\theta\alpha^\wedge \end{align}$$

【注】

$$罗德里格斯公式：R=cos\theta I+(1-cos\theta )nn^T+sin\theta n\text{^}$$

由此表明，$\mathfrak{so}(3)$实际上就是旋转向量组成的空间（李代数$\rightarrow$李群）其物理意义就是旋转向量，指数映射就是罗德里格斯公式（旋转向量$\rightarrow$旋转矩阵）（旋转矩阵的导数可以由旋转向量指定）

所以

$$\Rightarrow\;\phi =ln(R)^\vee=(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n+1}(R-I)^{n+1})^\vee$$

但是，可以通过求解转角和转轴，可以更加简便的得到 $\theta$ 和 $\alpha$

$$\theta=arccos\frac{tr(R)-1}{2},Rn=n$$

综上所述，得到李群SO(3)和李代数so(3)的对应关系，将旋转角控制在$（-\pi,\pi）$之间，二者成一一对应关系

（2）SE(3)上的指数映射

$$\text{exp}(\xi^\wedge)=\begin{bmatrix} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}(\phi^\wedge)^n & \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{()n+1)!}(\phi^\wedge)^n\rho\\ 0^T & 1 \end{bmatrix} \overset{\Delta}{=}\begin{bmatrix} R & J\rho\\ 0^T & 1 \end{bmatrix}=T$$

经求解，得：$J=\frac{\sin\theta}{\theta}I+(1-\frac{\sin\theta}{\theta})\alpha\alpha^T+\frac{1-\cos\theta}{\theta}\alpha^\wedge$（雅可比矩阵）

SE(3)右上角的平移向量t，结合$t=J\rho$，$J可由\phi求得$，可以求得 $\rho$

由此，确定SE(3)和se(3)的转换关系

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参考资料：

• 视觉SLAM十四讲：从理论到实践（第2版）. 高翔.