矩阵微分
矩阵微分
矩阵对于数量变量的微分
A=[aij(t)]m×n⇒dAdt=[daij(t)dt]m×n运算法则
A是n阶常数矩阵,(1)ddtetA=AetA=etAA(2)ddtcos(tA)=−A⋅sin(tA)=−sin(tA)⋅A(3)ddtsin(tA)=A⋅cos(tA)=cos(tA)⋅A数量函数对于向量/矩阵的微分
f(x)=f(x1,x2,⋯,xn),x=[x1,x2,⋯,xn]T
df(x)dx=[∂f∂x1∂f∂x2⋯∂f∂xn]Tdf(x)dxT=[∂f∂x1∂f∂x2⋯∂f∂xn]
定义为梯度:grad[f(x)]=▽f(x)
向量函数对于向量的微分
a(x)=[a1(x)a2(x)⋯am(x)]T,x=[x1x2⋯xn]T
da(x)dxT=[∂ai∂xj]m×ndaT(x)dx=[∂aj∂xi]m×n
注:ai(x)是关于 x1,x2,⋯,xn 的函数,(2)中的矩阵称为雅克比矩阵
矩阵函数对于向量的微分
A(x)=[a11(x)a12(x)⋯a1l(x)a21(x)a22(x)⋯a2l(x)⋮⋮⋮⋮am1(x)am2(x)⋯aml(x)]m×l对 x=[x1x2⋯xn] 求微分
dA(x)dx=[∂A(x)∂x1∂A(x)∂x2⋮∂A(x)∂xn]nm×l对 x=[x1x2⋯xn]T 求微分
dA(x)dx=[∂A(x)∂x1∂A(x)∂x2⋯∂A(x)∂xn]n×ln对一个变量 xt 微分
∂A(x)∂xt=[∂aij(x)∂xt]m×l复合函数微分
f=f(Y),Y=Y(x)
dfdX=dYTdXdfdYdfdXT=dfdYTdYdXTf=f(X,Y),Y=Y(x)
dfdX=∂f∂X+dYTdX∂f∂YdfdXT=∂f∂XT+dfdYT∂Y∂XT求导法则:
(A−1)′=−A−1A′A−1导数与微分的联系(迹技巧):
矩阵形式
df=tr(∂f∂XTdX)向量形式
df=tr(∂f∂xTdx)函数对矩阵
若标量函数f是矩阵X经加减乘法、逆、行列式、逐元素函数等运算构成,则使用相应的运算法则对f求微分,再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧,对照导数与微分的联系,即能得到导数
特别地,若矩阵退化为向量,对照导数与微分的联系
先对特征式求导,再用迹技巧求微分
矩阵对矩阵
参考:
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